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正态分布跟标准分数之间的关系。
标准分数（Standard Score，又称z-score，中文称为Z-分数或标准分或标准计分[1]）在统计学中是一种无因次值，就是一种纯数字标记，是借由从单一（原始）分数中减去母体的平均值，再依照母体（母集合）的标准差分割成不同的差距，按照z值公式，各个样本在经过转换后，通常在正、负五到六之间不等。其算数平均数必为0，标准差必为1。
概念[编辑]
标准分数与使用在高速筛选分析中的“Z-因数”（z-factor）不同，甚至有时两者会互相混淆。
其约化过程被称为“标准化”（standardizing）。
标准分数可借由以下公式求出：
z
=
x
−
μ
σ
{\displaystyle z={x-\mu \over \sigma }}
其中
σ
≠
0
{\displaystyle \sigma \neq 0}
。
其中
x
{\displaystyle x\,}
是需要被标准化的原始分数
μ
{\displaystyle \mu \,}
是母体的平均值
σ
{\displaystyle \sigma \,}
是母体的标准差
Z值的量代表著原始分数和母体平均值之间的距离，是以标准差为单位计算。在原始分数低于平均值时Z则为负数，反之则为正数。换句话说，Z值是从感兴趣的点到均值之间有多少个标准差。
关键点是，计算Z值时需要“母体”的平均值和标准差，而不是“样本”的平均值和标准差。因此需要了解母体的统计数据资料。
但是要确实了解母体真正的标准差往往是不切实际的，除非是在“标准化测验”之类的情形中，整个母体都是经过测量的。在其他情况中，几乎不可能测量母体的每一个组成单位，因此通常会使用随机的样本来评估标准差。例如：“有吸烟习惯的总人数”就不是经过一个一个测量而得出的。
在这种情况下，标准分数为：
z
=
x
−
x
¯
S
{\displaystyle z={\frac {x-{\bar {x}}}{S}}}
其中
S
≠
0
{\displaystyle S\neq 0}
其中
x
¯
{\displaystyle {\bar {x}}}
是样本平均值
S
{\displaystyle S}
是样本的标准差
当母体为正态分布时，其百分位数可能是由标准分数和普通表格所决定的。
数理统计学中的标准化[编辑]
在数理统计学中，随机变数“X”是使用理论（母体）的平均值和标准差所标准化的结果：
Z
=
X
−
μ
σ
{\displaystyle Z={X-\mu \over \sigma }}
其中 μ = E(X) 为平均值、σ² = Var(X) 为X的概率分布之方差
若随机变数无法确定时，则为算术平均数：
X
¯
=
1
n
∑
i
=
1
n
X
i
{\displaystyle {\bar {X}}={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}
因此经过标准化的结果为：
Z
=
X
¯
−
μ
σ
/
n
.
{\displaystyle Z={{\bar {X}}-\mu \over \sigma /{\sqrt {n}}}.}
应用[编辑]
在日本，标准分数常被用在计算学力测验的“学力偏差值”，并且依此判断进入理想大学的可能性。
在智力测验时，用来计算“智力标准分数”，在教育的用途上，常和“智商”一起被当作参考的依据。
高考标准分[编辑]
截至2020年，中国大陆地区曾有福建省和海南省实行标准分制度以计算高考总分。
外部链接[编辑]
英文 Z-分数计算机 （页面存档备份，存于互联网档案馆） 能在“累积机率”数值（Q）和Z-分数（标准分数）之间转换。
英文 免费的Z-分数（标准分数）计算机 输入样本平均值、样本标准差和尚未标准化的数据之后，即可算出标准分数。
参见[编辑]
统计学
标准九分
Z检验
参考资料[编辑]
^ 樂詞網：標準計分. 国家教育研究院乐词网. [2024-01-13]. （原始内容存档于2024-01-13） （中文（台湾））.
查论编统计学描述统计学连续概率集中趋势
平均数
平方
算术
几何
调和
算术-几何
几何-调和
希罗／平均数不等式
中位数
众数
离散程度
全距
变异系数
百分位数
四分位距
四分位数
标准差
方差
平均差
标准分数
切比雪夫不等式
基尼系数
分布形态（英语：Shape of the distribution）
中心极限定理
矩
偏态
峰态
离散概率
次数（英语：Count data）
列联表
推论统计学和假说检定推论统计学
置信区间
区间估计
显著性差异
元分析
贝叶斯推断
实验设计
总体
抽样
重抽样
刀切法
自助法
交叉验证
重复（英语：Replication (statistics)）
区集（英语：Blocking (statistics)）
灵敏度和特异度
缺失数据
样本量（英语：Sample size）
标准误
零假设
备择假设
第一类错误与第二类错误
统计功效
效应值
常规估计
贝叶斯推断
区间估计
最大似然估计
最小距离估计（英语：Minimum distance estimation）
矩估计
最大间距
假设检验
Z检验
学生t检验
F检定
卡方检验
Wald检定（英语：Wald test）
曼-惠特尼检定（英语：Mann–Whitney U test）
秩和检验
生存分析
生存函数
乘积极限估计量
对数秩和检定
失效率
危险比例模式
相关及回归分析相关性
干扰因素
皮尔逊积矩相关系数
等级相关（英语：Rank correlation） (斯皮尔曼等级相关系数
肯德等级相关系数（英语：Kendall tau rank correlation coefficient）)
自由度
误差和残差
线性回归
线性模型（英语：Linear model）
一般线性模型
广义线性模型
简单线性回归
普通最小二乘法
贝叶斯回归（英语：Bayesian linear regression）
方差分析
协方差分析（英语：Analysis of covariance）
非线性回归
非参数回归模型（英语：Nonparametric regression）
半参数回归模型（英语：Semiparametric regression）
逻辑斯谛回归
统计图形
饼图
条形图
双标图
箱形图
管制图
森林图（英语：Forest plot）
直方图
分位图
趋势图
散点图
茎叶图
雷达图（英语：Radar chart）
示意地图
其他
统计类型（维基数据：Q47103999）
回应过程效度
统计误用
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