§3.5 初等因子
在这一节与下一节中我们假定讨论中的数域 PPP 是复数域。
上面已经看到，不变因子是矩阵的相似不变量。为了得到若尔当标准形，再引入：
定义 7 把矩阵 A\boldsymbol{A}A（或线性变换 A\mathcal{A}A）的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的首项为 1 的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵 A\boldsymbol{A}A（或线性变换 A\mathscr{A}A）的初等因子。
例子
设 12 阶矩阵的不变因子是：
1,1,⋯ ,1⏟9个,(λ−1)2,(λ−1)2(λ+1),(λ−1)2(λ+1)(λ2+1)2\underbrace{1,1, \cdots, 1}_{9个}, (\lambda-1)^{2}, (\lambda-1)^{2}(\lambda+1), (\lambda-1)^{2}(\lambda+1)(\lambda^{2}+1)^{2}9个
1,1,⋯,1,(λ−1)2,(λ−1)2(λ+1),(λ−1)2(λ+1)(λ2+1)2
按定义，它的初等因子有 7 个，即：
(λ−1)2,(λ−1)2,(λ−1)2,λ+1,λ+1,(λ−i)2,(λ+i)2(\lambda-1)^{2}, (\lambda-1)^{2}, (\lambda-1)^{2}, \lambda+1, \lambda+1, (\lambda-i)^{2}, (\lambda+i)^{2}(λ−1)2,(λ−1)2,(λ−1)2,λ+1,λ+1,(λ−i)2,(λ+i)2
其中 (λ−1)2(\lambda-1)^{2}(λ−1)2 出现三次，λ+1\lambda+1λ+1 出现二次。
不变因子和初等因子的关系
现在进一步来说明不变因子和初等因子的关系。首先，假设 nnn 阶矩阵 A\boldsymbol{A}A 的不变因子 d1(λ),d2(λ),⋯ ,dn(λ)d_{1}(\lambda), d_{2}(\lambda), \cdots, d_{n}(\lambda)d1(λ),d2(λ),⋯,dn(λ) 为已知。将 di(λ)d_{i}(\lambda)di(λ) (i=1,2,⋯ ,n)(i=1,2, \cdots, n)(i=1,2,⋯,n) 分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，即：
d1(λ)=(λ−λ1)k11(λ−λ2)k12⋯(λ−λr)k1rd2(λ)=(λ−λ1)k21(λ−λ2)k22⋯(λ−λr)k2r⋮dn(λ)=(λ−λ1)kn1(λ−λ2)kn2⋯(λ−λr)knr\begin{align} d_{1}(\lambda) &= (\lambda-\lambda_{1})^{k_{11}}(\lambda-\lambda_{2})^{k_{12}} \cdots (\lambda-\lambda_{r})^{k_{1r}} \\ d_{2}(\lambda) &= (\lambda-\lambda_{1})^{k_{21}}(\lambda-\lambda_{2})^{k_{22}} \cdots (\lambda-\lambda_{r})^{k_{2r}} \\ &\vdots \\ d_{n}(\lambda) &= (\lambda-\lambda_{1})^{k_{n1}}(\lambda-\lambda_{2})^{k_{n2}} \cdots (\lambda-\lambda_{r})^{k_{nr}} \end{align}d1(λ)d2(λ)dn(λ)=(λ−λ1)k11(λ−λ2)k12⋯(λ−λr)k1r=(λ−λ1)k21(λ−λ2)k22⋯(λ−λr)k2r⋮=(λ−λ1)kn1(λ−λ2)kn2⋯(λ−λr)knr
则其中对应于 kij⩾1k_{ij} \geqslant 1kij⩾1 的那些方幂：
(λ−λj)kij,kij⩾1(\lambda-\lambda_{j})^{k_{ij}}, \quad k_{ij} \geqslant 1(λ−λj)kij,kij⩾1
就是 A\boldsymbol{A}A 的全部初等因子。
我们注意不变因子有一个除尽一个的性质，即：
di(λ)∣di+1(λ),i=1,2,⋯ ,n−1d_{i}(\lambda) \mid d_{i+1}(\lambda), \quad i=1,2, \cdots, n-1di(λ)∣di+1(λ),i=1,2,⋯,n−1
从而：
(λ−λj)kij∣(λ−λj)ki+1,j,i=1,2,⋯ ,n−1;j=1,2,⋯ ,r(\lambda-\lambda_{j})^{k_{ij}} \mid (\lambda-\lambda_{j})^{k_{i+1,j}}, \quad i=1,2, \cdots, n-1; j=1,2, \cdots, r(λ−λj)kij∣(λ−λj)ki+1,j,i=1,2,⋯,n−1;j=1,2,⋯,r
因此，在 d1(λ),d2(λ),⋯ ,dn(λ)d_{1}(\lambda), d_{2}(\lambda), \cdots, d_{n}(\lambda)d1(λ),d2(λ),⋯,dn(λ) 的分解式中，属于同一个一次因式的方幂的指数有递升的性质，即：
k1j⩽k2j⩽⋯⩽knj,j=1,2,⋯ ,rk_{1j} \leqslant k_{2j} \leqslant \cdots \leqslant k_{nj}, \quad j=1,2, \cdots, rk1j⩽k2j⩽⋯⩽knj,j=1,2,⋯,r
这说明，同一个一次因式的方幂作成的初等因子中，方次最高的必定出现在 dn(λ)d_{n}(\lambda)dn(λ) 的分解中，方次次高的必定出现在 dn−1(λ)d_{n-1}(\lambda)dn−1(λ) 的分解中。如此顺推下去，可知属于同一个一次因式的方幂的初等因子在不变因子的分解式中出现的位置是唯一确定的。
从初等因子构造不变因子
上面的分析给了我们一个如何从初等因子和矩阵的阶数唯一地作出不变因子的方法。设一个 nnn 阶矩阵的全部初等因子为已知，在全部初等因子中将同一个一次因式 λ−λj\lambda-\lambda_{j}λ−λj (j=1,2,⋯ ,r)(j=1,2, \cdots, r)(j=1,2,⋯,r) 的方幂的那些初等因子按降幂排列，而且当这些初等因子的个数不足 nnn 时，就在后面补上适当个数的 1，使得凑成 nnn 个。设所得排列为：
(λ−λj)m1j⩾(λ−λj)m2j⩾⋯⩾(λ−λj)mnj(\lambda-\lambda_{j})^{m_{1j}} \geqslant (\lambda-\lambda_{j})^{m_{2j}} \geqslant \cdots \geqslant (\lambda-\lambda_{j})^{m_{nj}}(λ−λj)m1j⩾(λ−λj)m2j⩾⋯⩾(λ−λj)mnj
于是令：
di(λ)=∏j=1r(λ−λj)mij,i=1,2,⋯ ,nd_{i}(\lambda) = \prod_{j=1}^{r} (\lambda-\lambda_{j})^{m_{ij}}, \quad i=1,2,\cdots,ndi(λ)=j=1∏r(λ−λj)mij,i=1,2,⋯,n
则 d1(λ),d2(λ),⋯ ,dn(λ)d_{1}(\lambda), d_{2}(\lambda), \cdots, d_{n}(\lambda)d1(λ),d2(λ),⋯,dn(λ) 就是 A\boldsymbol{A}A 的不变因子。
这也说明了这样一个事实：
如果两个同阶的数字矩阵有相同的初等因子，则它们就有相同的不变因子，因而它们相似。反之，如果两个矩阵相似，则它们有相同的不变因子，因而它们有相同的初等因子。
综上所述，即得：
定理 8 两个同阶复矩阵相似的充分必要条件是它们有相同的初等因子。
初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量。但是初等因子的求法与不变因子的求法比较，反而方便一些。
多项式最大公因式的性质
在介绍直接求初等因子的方法之前，先来说明关于多项式的最大公因式的一个性质：
如果多项式 f1(λ),f2(λ)f_{1}(\lambda), f_{2}(\lambda)f1(λ),f2(λ) 都与 g1(λ),g2(λ)g_{1}(\lambda), g_{2}(\lambda)g1(λ),g2(λ) 互素，则：
(f1(λ)g1(λ),f2(λ)g2(λ))=(f1(λ),f2(λ))⋅(g1(λ),g2(λ))(f_{1}(\lambda) g_{1}(\lambda), f_{2}(\lambda) g_{2}(\lambda)) = (f_{1}(\lambda), f_{2}(\lambda)) \cdot (g_{1}(\lambda), g_{2}(\lambda))(f1(λ)g1(λ),f2(λ)g2(λ))=(f1(λ),f2(λ))⋅(g1(λ),g2(λ))
证明： 令：
(f1(λ)g1(λ),f2(λ)g2(λ))=d(λ)(f1(λ),f2(λ))=d1(λ)(g1(λ),g2(λ))=d2(λ)\begin{align} (f_{1}(\lambda) g_{1}(\lambda), f_{2}(\lambda) g_{2}(\lambda)) &= d(\lambda) \\ (f_{1}(\lambda), f_{2}(\lambda)) &= d_{1}(\lambda) \\ (g_{1}(\lambda), g_{2}(\lambda)) &= d_{2}(\lambda) \end{align}(f1(λ)g1(λ),f2(λ
💡 关键要点
§3.5 初等因子 在这一节与下一节中我们假定讨论中的数域 PPP 是复数域。 上面已经看到，不变因子是矩阵的相似不变量。为了得到若尔当标准形